Wie Mathematiker neue Wege finden, jahrzehntealte Probleme zu lösen

Als 1986 die Raumfähre Challenger nach 73 Sekunden ihres Fluges explodierte, wurde der bekannte Physiker Richard Feynman hinzugezogen, um herauszufinden, was passiert war. Später zeigte er, dass die „ringförmige“ Dichtung, die den Raketen-Booster-Bereich des Space Shuttles verbinden sollte, aufgrund der niedrigen Temperaturen versagt hatte, was zu einer großen Katastrophe führte. Er entdeckte aber auch andere Fehler.

Darunter ist auch die verwendete Methode NASA Ich habe die Form des Rings berechnet. Während der Tests vor dem Flug maßen die Techniker der Agentur wiederholt die Breite der Dichtung, um festzustellen, ob es zu Verformungen kam. Sie argumentierten, dass der Durchmesser des gesamten Kreises nicht mehr derselbe wäre, wenn die Ringe leicht abgeflacht würden – wenn sie beispielsweise oval würden und nicht ihre Kreisform beibehalten würden.

Diese Messungen seien nutzlos, schrieb Feynman. Obwohl Ingenieure unzählige Messungen durchgeführt und herausgefunden haben, dass der Durchmesser immer genau gleich ist, gibt es immer noch viele „Objekte mit konstanter Breite“, wie diese Formen genannt werden. Kreise sind nur eine davon.

Das bekannteste nichtkreisförmige Objekt mit konstanter Breite ist das Reuleaux-Dreieck, das Sie konstruieren können, indem Sie den zentralen Bereich der Überlappung des Venn-Diagramms aus drei Kreisen nehmen. Für eine gegebene Breite in zwei Dimensionen ist das Reuleaux-Dreieck eine ebene Figur konstanter Breite mit der kleinstmöglichen Fläche. Ein Kreis hat die größte Fläche.

In drei Dimensionen ist das größte Objekt mit konstanter Breite eine Kugel. In höheren Dimensionen ist es einfach eine höherdimensionale Kugel – die Form, die erscheint, wenn man die Nadel an einem Punkt hält und sie frei in jede Richtung drehen lässt.

Aber Mathematiker haben sich schon lange gefragt, ob es immer möglich ist, kleinere Formen mit konstanter Breite in höheren Dimensionen zu finden. Diese Formen existieren in drei Dimensionen: Obwohl diese dreieckigen Reuleaux-Blasen etwas spitz aussehen mögen, rollen sie reibungslos, wenn man sie zwischen zwei parallelen Ebenen platziert, wie Kugeln. Es ist jedoch schwieriger zu sagen, ob dies allgemein gilt. Es könnte sein, dass die Kugel in höheren Dimensionen ideal ist.

Deshalb stellte Oded Schramm, damals Doktorand an der Princeton University, 1988 eine einfache Frage: Ist es möglich, ein Objekt mit konstanter Breite in jeder Dimension zu erzeugen, das exponentiell kleiner als eine Kugel ist?

Nun berichten fünf Forscher – von denen vier in der Ukraine aufgewachsen sind und sich seit der High School oder dem College kennen – in einem im Mai online veröffentlichten Artikel, dass die Antwort „Ja“ lautet.

Die Ergebnisse lösen nicht nur ein jahrzehntealtes Problem, sondern geben Mathematikern auch einen ersten Einblick, wie diese mysteriösen, hochdimensionalen Formen aussehen könnten. Obwohl diese Formen leicht zu definieren seien, seien sie überraschend mysteriös, sagte Shiri Artstein, eine Mathematikerin an der Universität Tel Aviv, die nicht an der Forschung beteiligt war. „Alles Neue, was wir über sie erfahren, neue Konstrukte oder Berechnungen, ist schon sehr aufregend.“ Jetzt haben Forscher endlich Zugang zu einem Winkel des geometrischen Universums, der zuvor völlig unzugänglich war.

Seitdem sind die vier Mathematiker in verschiedene Städte auf der ganzen Welt gezogen und führen unterschiedliche Forschungsprogramme durch, treffen sich jedoch zweimal pro Woche über Zoom, um gemeinsam an schwierigen geometrischen Beweisen zu arbeiten.

Formen mit konstanter Breite stehen nicht auf der Tagesordnung. Letztes Jahr versuchte die Gruppe, eine Frage namens Borsuk-Vermutung zu beantworten, die Mathematiker seit mehr als einem Jahrhundert verwirrt. Doch eine Idee kam während des Treffens immer wieder auf: Als Schramm in den 1980er Jahren seine Frage nach Körpern mit konstanter Breite stellte, schlug er auch vor, dass das Verständnis dieser Formen eine Möglichkeit zur Lösung von Borsuks Problem bieten könnte.

Ukrainische Mathematiker verfolgen einen anderen Ansatz und einige von ihnen zögern, den Fokus zu ändern. Aber Bondarenko, jetzt an der norwegischen Universität für Wissenschaft und Technologie, bestand darauf, dass sie es versuchten, auch wenn es ihnen nicht viel half. „Er hat immer betont, dass die Themen wichtig seien“, sagte Arman, jetzt Postdoktorand an der Universität von Manitoba. Schließlich stimmte der Rest des Teams zu, es zu versuchen.

Ihre Arbeit liefert einen sehr einfachen Algorithmus zur Konstruktion n-dimensionaler Formen konstanter Breite, deren Volumen höchstens das 0,9n-fache des Volumens einer Kugel beträgt. Diese Grenze sei etwas willkürlich, sagte Arman. Es sollte möglich sein, kleinere Objekte mit konstanter Breite zu finden. Dies reicht jedoch aus, um Schramms Frage zu beantworten und zu beweisen, dass mit zunehmender Anzahl der Dimensionen die Differenz zwischen den Volumina der kleinsten und größten Objekte konstanter Breite exponentiell zunimmt. Trotz der komplizierten Ideen, die hinter den Ergebnissen stecken, sagte Arman, dass die Konstruktion etwas sei, was jeder Student im Grundstudium überprüfen könne.

Gehen Sie vorwärts

Für Gil Kalai von der Hebräischen Universität ist es eine persönliche Befriedigung, Antworten für Schramm zu sehen, seinen ehemaligen Studenten, der 2008 bei einem Bergsteigerunfall ums Leben kam, nachdem er in verschiedenen Bereichen erhebliche Fortschritte erzielt hatte. Aber Kalai ist auch daran interessiert, die theoretischen Konsequenzen der Ergebnisse zu erforschen. Bis dahin sei es möglich, dass sich diese Formen in höheren Dimensionen zumindest hinsichtlich der Volumeneigenschaften wie Kugeln verhalten, sagt er. Aber „das ist nicht passiert. „Das bedeutet also, dass die Theorie von Objekten in höheren Dimensionen sehr komplex ist“, sagte er.

Diese Theorie könnte sogar Anwendung finden. Darüber hinaus sind in kleineren Dimensionen Körper mit konstanter Breite bereits sehr nützlich: Das Reuleaux-Dreieck erscheint beispielsweise in Form von Bohrern, Gitarrenplektren und manipulationssicheren Muttern für Hydranten. Laut Arman könnte seine neue Form in höheren Dimensionen bei der Entwicklung maschineller Lernmethoden zur Analyse höherdimensionaler Datensätze nützlich sein. Bondarenko – in seiner Gruppe bekannt für seine „verrückten Ideen“, wie Arman es nennt – schlug auch Verbindungen zu entfernten Zweigen der Mathematik vor.

Die Suche nach einem möglichst kleinen Objekt mit konstanter Breite geht weiter. Die Gruppe nutzte ihre Konstruktion, um einen vielversprechenden Kandidaten in drei Dimensionen zu untersuchen, doch sie wurde enttäuscht: Es stellte sich heraus, dass es nur einen Bruchteil von 1 % größer war als das kleinste bekannte Objekt. Die Mathematiker haben beschlossen, vorerst mit der Verfolgung aufzuhören und sich wieder an Borsuks Problem zu wenden. Dabei hinterlassen sie der Welt neue Formen, die andere erkunden können. / ÜBERSETZUNG VON RENATO PRELORENTZOU

Originalgeschichte erneut veröffentlicht mit Genehmigung des Quanta Magazine, einer redaktionell unabhängigen Publikation, die von der Simons Foundation unterstützt wird. Lesen Sie den Originalinhalt unter Mathematiker finden neue Formen, um jahrzehntealte Geometrieprobleme zu lösen